sábado, 26 de marzo de 2011

Interacción electromagnética

La interacción electromagnética es la interacción que ocurre entre las partículas con carga electrica. Desde un

punto de vista macroscopico y fijado un observador, suele separarse en dos tipos de interacción, la interacción

electrostática, que actúa sobre cuerpos cargados en reposo respecto al observador, y la interacción magnetica,

que actúa solamente sobre cargas en movimiento respecto al observador.

Las partículas fundamentales interactúan electromagnéticamente mediante el intercambio de fotones entre partículas

cargadas. Laelectrodinámica cuántica proporciona la descripción cuántica de esta interacción, que puede ser

unificada con la interacción nuclear débilsegún el modelo electrodébil.

Electromagnetismo clásico

En la descripción del electromagnetismo antes de su formulación relativista,

el campo electromagnético se describía como una interacción en la que las

partículas cargadas en función de su carga y estado de movimiento creaban

un campo eléctrico (E) y un campo magnético (B) que, juntos, eran

responsables

de la fuerza de Lorentz. Maxwell probó que dichos campos podían ser

derivados de un potencial escalar (Φ) y un potencial vector (A) dados por las

ecuaciones:

$\mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \phi$

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

Sin embargo, esta formulación no era explícitamente covariante como requiere

la formulación que hace la teoría de la relatividad. En la formulación explícitamente

covariante el campo electromagnético clásicamente se trata como un campo

de Yang-Mills sin masa y derivado de un cuadrivector de potencial. Más concretamente el

campo electromagnético es una 2-forma exacta definida sobre el espacio-tiempo.

El cuadrivector potencial es una 1-forma cuya diferencial exterior es,

precisamente, el campo electromagnético.

Electromagnetismo relativista
En la Teoría de la Relatividad Especial la interacción electromagnética se caracteriza por un (cuadri)tensor de segundo orden, llamado tensorcampo electromagnético:
$\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_{00} & F_{01} & F_{02} & F_{03} \\ F_{01} & F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{02} & F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{03} & F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}$
Este tensor campo electromagnético satisface las ecuaciones de Maxwell que en notación tensorial (y sistema cgs) se escriben habitualmente:¹
${\partial F^{\alpha\beta} \over {\partial x^{\alpha}}} = {4 \pi \over c }J^{\beta} \qquad {\partial F_{\alpha\beta} \over \partial x^\gamma} + {\partial F_{\gamma\alpha} \over \partial x^\beta} + {\partial F_{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = \epsilon_{\mu\beta\gamma}g^{\alpha\mu}{\partial F^{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = 0$
Estas ecuaciones pueden escribirse de forma más compacta usando la derivada exterior y el operador dual de Hodge de forma muy elegante como:
$\mathrm{d}\mathbf{F} = 0 \qquad \mathrm{d}(\mathbf{F}) = \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}$
De hecho dada la forma de las ecuaciones anteriores, si el dominio sobre el que se extiende el campo electromagnético es simplemente conexo (estrellado) el campo electromagnético puede expresarse como la derivada exterior de un cuadrivector llamado potencial vector, relacionado con los potenciales del electromagnetismo clásico de la siguiente manera:
$\mathbf{A} = (A_0; A_1, A_2, A_3) = (\phi; \mathbf{A})$
Donde:
$\phi\;$ , es el potencial electroestático.
$\mathbf{A}$ , es el potencial vector clásico.
Esta substitución facilita enormemente la resolución de dichas ecuaciones, la relación entre el
cuadrivector potencial y el tensor de campo electromanético resulta ser:
$\mathbf{F} = \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{1}{2!} \frac{\part A_\beta}{\part x^\alpha}-\frac{\part A_\alpha}{\part x^\beta} dx^\alpha \land dx^\beta = \frac{1}{2!} F_{\alpha\beta} dx^\alpha \land dx^\beta$
El hecho de que la interacción electromagnética pueda representarse por un (cuadri)vector que
define completamente el campo electromanético (siempre y cuando el dominio sea estrellado)
es la razón por la que se afirma en el tratamiento moderno que la interacción electromagnética
es un campo vectorial (y por lo que en el tratamiento cuántico se dice que está representado por
bosones vectoriales).
En relatividad general es tratamiento del campo electromagnético en un espacio-tiempo curvo
es similar al presentado aquí para el espacio de Minkowski, sólo que las derivadas parciales
respecto a las coordenadas deben substituirse por derviadas coviarantes.
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